Permutacje, kombinacje, wariacje – zastosowanie





Permutacje

Jeżeli w zadaniu mamy powiedziane, że wykonujemy operacje na wszystkich elementach, wówczas korzystamy z permutacji.



Przykład 1:
Na ile sposobów możemy ustawić 4 książki na półce?

Korzystamy z permutacji

P(4) = 4!= 1*2*3*4 = 24

Jak widzimy, 4 książki można ustawić na półce na 24 sposobów.



Dlaczego użyliśmy permutacji?

Dlatego, że elementami w naszym zadaniu nie były książki, tylko ich różne ustawienia!!!







Kombinacje

Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka i kolejność wybranych elementów nie odgrywa roli, wówczas korzystamy z kombinacji.



Przykład 1:
Na ile różnych sposobów możemy wybrać 3 osoby do kina spośród 6.

W tym zadaniu byłoby trudno pokazać, ile tych trójek jest, dlatego po prostu to policzymy.
Ilość osób, jakimi dysponujemy, to 6, czyli n=6, bedziemy wybierali po 3 osoby,zatem k=3. Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy:



Kombinacje



Dlaczego użyliśmy kombinacji?

Dlatego, że elementami w naszym zadaniu nie jest 6 osób, tylko elementami są różnie wybrane trójki, które pójdą do kina!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Tylko w kombinacjach w wybranych elementach kolejność nie odgrywa roli!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!







Wariacje bez powtórzeń

Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka, tak, że nie będą się one powtarzały,ale z treści zadania wynika, że kolejność wybranych elementów odgrywa rolę, wówczas należy skorzystać z wariacji bez powtórzeń.



Przykład 1:
Mamy do dyspozycji 9 drewnianych klocków, na których są pomalowane cyfry od 1 do 9. Ile możemy ułożyć liczb czterocyfrowych,wybierając kolejno bez zwracania 4 klocki?

Rozwiązanie:

Wariacje bez powtórzeń

Dlaczego użyliśmy wariacji bez powtórzeń?

Dlatego w tym zadaniu wybraliśmy wariacje bez powtórzeń, ponieważ ułożenie naszych czterech klocków będzie ważne. Każde inne ustawienie tych samych klocków zmienia nam liczbę!







Wariacje z powtórzeniami

Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka i może się zdarzyć, że wybrane elementy będą się powtarzały, wówczas należy skorzystać z wariacji z powtórzeniami.



Przykład 1:
Na ile sposobów możemy uzyskać różne wyniki, przy rzucie dwiema różnymi kostkami?
Rozwiązanie:
n=6, k=2

Wariacje z powtórzeniami


Może się tak zdarzyć, że na obu kostkach wypadnie ta sama liczba oczek, zatem uznajemy, że elementy mogą się powtarzać. W tego typu zadaniach należy wiedzieć, że aby odpowiedź była poprawna zakładamy, że te same układy oczek, ale na różnych kostkach, dają inne wyniki, np. (1,5) czy (5,1). W pierwszej sytuacji 1 wypadła na pierwszej kostce natomiast 5 na drugiej. Następna sytuacja pokazuje, że oczka wypadły odwrotnie